數(shù)學(xué)家的辦公室多走“極簡(jiǎn)風(fēng)”，但王國(guó)禎的辦公室，卻藏著另一番風(fēng)景。

靠墻的幾個(gè)書(shū)架不夠用，他又添了三個(gè)高聳的旋轉(zhuǎn)書(shū)架。定睛一看，除了數(shù)學(xué)相關(guān)，還穿插物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)，更不乏歷史、文學(xué)——《資治通鑒》《讀史方輿紀(jì)要》《杜甫詩(shī)集》……“學(xué)累了，就換換腦子”，王國(guó)禎堅(jiān)持每天讀書(shū)，案頭一本A Course on Surgery Theory，講的是幾何拓?fù)渲械摹笆中g(shù)理論”。

王國(guó)禎辦公室的書(shū)架

更醒目的是桌上四塊大小不一的顯示屏，像是股票交易員的工位。“每塊屏幕都有用，”他笑說(shuō)，有的用來(lái)看文獻(xiàn)，有的用來(lái)寫(xiě)源代碼。這位理論數(shù)學(xué)家在研究中大量使用計(jì)算機(jī)，最近開(kāi)始探索AI工具在數(shù)學(xué)研究中的可能。

日前，中國(guó)三大數(shù)學(xué)獎(jiǎng)之一的“陳省身數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”揭曉。憑借在拓?fù)鋵W(xué)同倫論領(lǐng)域的突出成果，40歲的王國(guó)禎榜上有名。該獎(jiǎng)項(xiàng)用于獎(jiǎng)勵(lì)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出突出成果的中青年數(shù)學(xué)家，復(fù)旦數(shù)學(xué)學(xué)科的忻元龍、洪家興、沈維孝、傅吉祥、雷震也曾獲此殊榮。

“我很崇拜陳省身先生，我們今天經(jīng)常使用的一些基本概念最早就是由他引入的?！?/span>王國(guó)禎分享道。他遺憾未能有機(jī)會(huì)見(jiàn)先生一面——2004年他赴北京大學(xué)讀書(shū)，2004年陳省身先生在天津逝世，“就差那么一點(diǎn)點(diǎn)的距離?！?/span>

追尋熱愛(ài)，從競(jìng)賽少年到青年數(shù)學(xué)家 

遠(yuǎn)離都市喧囂，窗外是水澤草木，偶有飛鳥(niǎo)掠過(guò)。只要心靜，能聽(tīng)見(jiàn)自己的呼吸。在上海數(shù)學(xué)中心的辦公室里，王國(guó)禎每天面對(duì)的，是一連串“距現(xiàn)實(shí)很遠(yuǎn)”的理論問(wèn)題。

“這里學(xué)術(shù)氛圍很濃厚，與科研無(wú)關(guān)的事很少，為我們打造了一個(gè)純粹的研究環(huán)境?！彼f(shuō)。 

一身運(yùn)動(dòng)裝，笑容溫和質(zhì)樸，說(shuō)話(huà)不疾不徐——在四十而立的年紀(jì)，王國(guó)禎的身上仍帶著幾分少年感。正如他的學(xué)生所言，王老師是個(gè)“喜歡數(shù)學(xué)的大男孩”。

9年前，他還是復(fù)旦大學(xué)博士后。此后幾年，他在代數(shù)拓?fù)涞耐瑐愓摲较蚪舆B取得重要成果，如今已是上海數(shù)學(xué)中心首席教授，專(zhuān)注于代數(shù)拓?fù)溲芯俊?/span>

拓?fù)鋵W(xué)在上世紀(jì)初由法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊開(kāi)創(chuàng)。若把物體看作可塑的“橡皮泥”，允許拉伸與彎曲，不允許撕裂與粘合，那么甜甜圈與有把手的咖啡杯“同胚”——它們都有一個(gè)孔。拓?fù)洳魂P(guān)心長(zhǎng)度與角度，而關(guān)心“連不連”“有幾個(gè)孔”“有無(wú)邊界”。

同倫論是拓?fù)鋵W(xué)的核心領(lǐng)域之一。它以一種“柔軟”的、連續(xù)變化的視角，借助同倫群等代數(shù)工具，刻畫(huà)空間中各類(lèi)“孔洞”的數(shù)量與類(lèi)型。維度越高，所能“看見(jiàn)”的結(jié)構(gòu)就越精妙。同倫論像是一組高精度“X光片”，把復(fù)雜的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)譯為可操作的代數(shù)問(wèn)題。

選擇扎根這一抽象而艱深的領(lǐng)域，對(duì)王國(guó)禎而言卻是“順其自然”。2004年，憑借全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的優(yōu)異成績(jī)，他從蘭州一中考入北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，對(duì)代數(shù)拓?fù)洚a(chǎn)生了濃厚興趣。特別是在學(xué)習(xí)了同倫論后，他被拓?fù)涮赜械摹罢w視角”吸引——許多問(wèn)題的突破，不取決于局部細(xì)節(jié)，而取決于整體結(jié)構(gòu)。

2015年，王國(guó)禎在麻省理工學(xué)院取得博士學(xué)位，期間開(kāi)啟對(duì)球面穩(wěn)定同倫群的“攻堅(jiān)戰(zhàn)”。這一基礎(chǔ)問(wèn)題提出已逾百年，20世紀(jì)中葉以來(lái)，國(guó)際學(xué)界的計(jì)算僅推進(jìn)至第59個(gè)穩(wěn)定同倫群。王國(guó)禎與合作者引入“motivic形變方法”，把計(jì)算機(jī)編程與抽象代數(shù)結(jié)合，構(gòu)建出獨(dú)特的解題工具，在球面穩(wěn)定同倫群計(jì)算上取得國(guó)際領(lǐng)先進(jìn)展。

2016年，他結(jié)束哥本哈根大學(xué)的博士后工作，回國(guó)進(jìn)入復(fù)旦大學(xué)上海數(shù)學(xué)中心繼續(xù)從事博士后研究。兩年后，他以青年研究員身份正式加入上海數(shù)學(xué)中心。

復(fù)旦大學(xué)上海數(shù)學(xué)中心

工具革命：用計(jì)算機(jī)做實(shí)驗(yàn)，攻克拓?fù)潆y題

拓?fù)鋵W(xué)中有個(gè)非常著名的問(wèn)題，叫“龐加萊猜想”。這個(gè)問(wèn)題在2002年被佩德?tīng)柭耆鉀Q。“這只是三維的情況，我們想問(wèn)一些更高維的情況。”王國(guó)禎的工作，正是圍繞廣義的龐加萊猜想展開(kāi)。

球面穩(wěn)定同倫群是代數(shù)拓?fù)漕I(lǐng)域的核心問(wèn)題。隨著維度不斷提高，計(jì)算復(fù)雜度急劇增大，需要更加復(fù)雜的、合適的工具來(lái)進(jìn)行球面同倫群計(jì)算。

王國(guó)禎所獲獎(jiǎng)杯與合影紀(jì)念照片

就像不同的登山隊(duì)向峰頂沖刺，有人偏重純理論的推演，王國(guó)禎團(tuán)隊(duì)則選擇了“實(shí)驗(yàn)式”的探索——通過(guò)大量具體計(jì)算去分析整體規(guī)律。

王國(guó)禎原想寫(xiě)一個(gè)程序做“基本輔助”，卻在現(xiàn)實(shí)中屢遭挫敗。傳統(tǒng)C語(yǔ)言所編寫(xiě)的程序在運(yùn)行過(guò)程中產(chǎn)生很多bug，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)一次又一次失敗。

“有好多年一直在很辛苦地算，嘗試各種不同角度，但是依然不斷失敗。我時(shí)刻在想，究竟是哪里出了問(wèn)題？”這個(gè)問(wèn)題困擾了王國(guó)禎十多年。

一次偶然，他突發(fā)奇想：是不是可以轉(zhuǎn)換編程語(yǔ)言？團(tuán)隊(duì)試著用F#語(yǔ)言編寫(xiě)程序，實(shí)驗(yàn)第一次順利跑通。但普通電腦承載不了龐大的數(shù)據(jù)，需要性能更高的服務(wù)器才能運(yùn)行，他們又遇到了高級(jí)計(jì)算機(jī)無(wú)法編譯F#語(yǔ)言程序的問(wèn)題。最終，團(tuán)隊(duì)將F#語(yǔ)言重新翻譯回C語(yǔ)言，反復(fù)調(diào)試后，程序穩(wěn)定運(yùn)行——就這樣，王國(guó)禎團(tuán)隊(duì)實(shí)現(xiàn)了“工具革命”。

這一新的工具直接推動(dòng)球面穩(wěn)定同倫群計(jì)算突破60維大關(guān)，推進(jìn)到第90維。2018年，團(tuán)隊(duì)在《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》發(fā)文，解決61維球面微分結(jié)構(gòu)唯一性，為奇數(shù)維廣義龐加萊猜想畫(huà)上句號(hào)。

王國(guó)禎與合作者解決61維球面微分結(jié)構(gòu)唯一性論文

由于在球面穩(wěn)定同倫群方面的工作，王國(guó)禎受邀在2022年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（International Congress of Mathematicians，簡(jiǎn)稱(chēng)ICM）上作了45分鐘報(bào)告，該會(huì)議是國(guó)際數(shù)學(xué)界規(guī)模最大、最具影響力的會(huì)議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的奧林匹克盛會(huì)。

2024年底，王國(guó)禎與合作者林偉南、徐宙利攻克了126維Kervaire不變量問(wèn)題，被學(xué)術(shù)界評(píng)價(jià)為“數(shù)學(xué)界的里程碑工程”。Kervaire不變量問(wèn)題是國(guó)際高維拓?fù)鋵W(xué)的核心難題之一，之所以他們能夠攻克，同樣離不開(kāi)計(jì)算機(jī)的支撐——團(tuán)隊(duì)構(gòu)建出了全新的計(jì)算框架和數(shù)據(jù)庫(kù)，排除了105種可能性。

王國(guó)禎與合作者攻克Kervaire不變量問(wèn)題論文

“我相信，穩(wěn)定同倫群背后有更一般的結(jié)構(gòu)和規(guī)律，但現(xiàn)在離這個(gè)目標(biāo)還差得很遠(yuǎn)?！彼?jì)劃建立更大的數(shù)據(jù)庫(kù)，繼續(xù)借助計(jì)算機(jī)工具在同倫論領(lǐng)域取得新的突破?！皵?shù)據(jù)量足夠大時(shí)，量變才可能產(chǎn)生質(zhì)變，進(jìn)而逼近背后的理論?！?/span> 

刪繁就簡(jiǎn)，在失敗常態(tài)里走向從容

“要做出成果，可能因?yàn)樘熨x，也可能因?yàn)檫\(yùn)氣，總之需要一些靈感?！蓖鯂?guó)禎認(rèn)為，做數(shù)學(xué)研究，見(jiàn)多識(shí)廣很重要，知識(shí)儲(chǔ)備越豐富，越可能產(chǎn)生新的靈感。多年來(lái)，他一直保持高強(qiáng)度的學(xué)習(xí)節(jié)奏，每天讀論文、看書(shū)；累了，就翻翻自己感興趣的歷史或文學(xué)書(shū)。

數(shù)學(xué)期刊論壇演講紀(jì)念與優(yōu)秀論文獎(jiǎng)紀(jì)念

他的課堂也因此充滿(mǎn)“跨界”色彩——講解Yoneda引理，他借用電視劇《白夜追兇》的“雙胞胎”隱喻映射關(guān)系；闡釋拓?fù)淇臻g時(shí)，把“剛性”的幾何比作乒乓球，把拓?fù)淇臻g比作可任意變形的籃球。

代數(shù)拓?fù)渖願(yuàn)W而精微，王國(guó)禎始終強(qiáng)調(diào)“刪繁就簡(jiǎn)”：“數(shù)學(xué)其實(shí)是做減法。把模型里不必要的部分逐一剝離，只留下真正關(guān)心的核心變量。原本無(wú)法研究的問(wèn)題，才會(huì)變得可以研究?！?/span>

不僅潛心科研，王國(guó)禎也擔(dān)任研究生導(dǎo)師，目前帶了10個(gè)博士生，是學(xué)院帶博士生最多的老師之一。他的指導(dǎo)風(fēng)格偏“放養(yǎng)”，尊重個(gè)體的獨(dú)立性與創(chuàng)造力。學(xué)生們想要研究不同方向的課題，他會(huì)盡力幫學(xué)生聯(lián)系相關(guān)領(lǐng)域的專(zhuān)家。

王國(guó)禎給本科生上課 

當(dāng)問(wèn)題做不出結(jié)果，有的學(xué)生很困擾，焦慮在所難免。王國(guó)禎往往反過(guò)來(lái)安慰：“數(shù)學(xué)研究里，失敗本就是常態(tài)?！?/span>他自己也是如此，面對(duì)很多想研究的問(wèn)題，長(zhǎng)時(shí)間思考之后，發(fā)現(xiàn)無(wú)從下手。

“數(shù)學(xué)領(lǐng)域的難題非常多，很多問(wèn)題現(xiàn)在看來(lái)都是沒(méi)有辦法攻克的。能找到幾個(gè)可以攻克的問(wèn)題，其實(shí)就已經(jīng)很幸運(yùn)了?！蓖鯂?guó)禎覺(jué)得，某種程度上，“尋找問(wèn)題”比“解決問(wèn)題”更重要。

“想研究的問(wèn)題，其實(shí)一輩子也做不完?！?/span>王國(guó)禎笑言。帶著近乎赤子的好奇，他將對(duì)拓?fù)渑c同倫的更幽深處持續(xù)求索，堅(jiān)定而從容。